Las IP mencionadas (192.168.x.x) son privadas y no públicas (i.e. están diseñadas para que --bajo ciertas condiciones-- se puedan repetir). Son el resultado de un truco para (básicamente) paliar temporalmente la escasez (ficticia o no) de direcciones IPv4. A este sistema se le bautizó como NAT (Network Address Translation) [RFC 1631, Mayo de 1994] y aunque se ideó como un parche, ha sido más eficaz de lo previsto, hasta el punto de que muchos le otorgan ventajas más allá de su propósito inicial.
El funcionamiento se basa en lo siguiente. Tu router NAT otorga a cada ordenador conectado una IP privada única dentro de tu red. Pero cuando cualquiera de ellos se conecta a Internet, el NAT cambia la IP privada dada por la IP pública que le ha asignado el proveedor de acceso a Internet. Es decir, todos los ordenadores de tu casa salen a Internet con la misma IP. De esta manera se cumple lo que sabías: todas las IP en la parte pública de Internet son únicas (si las cosas marchan bien).
NAT se encarga, tomando nota de las IP, los protocolos y los purtos de origen y destino, de traducir cada respuestas a la IP privada correcta. Los problemas (y según algunos, beneficios) se dan cuando los paquetes que entran no son una respuesta sino que son totalmente nuevos. En este caso, NAT no funciona de por sí, y en principio el paquete entrante se pierde. Por esta razón se dice que NAT da seguridad: por defecto, no pasan paquetes que no hayan sido invitados. La contrapartida es que cuando quieres que sea un agente externo quien inicie el intercambio de datos, por defecto no es posible.
Hay varios esquemas para mitigar los problemas de conexión total debido al NAT. Uno es configurar el router para que asocie ciertos paquetes a ciertos ordenadores (en función al protocolo y puerto al que van dirijidos). Este es el paso típico de configuración que hay que hacer para optimizar --y a veces para que simplemente funcionen-- los programas de P2P, ciertas funciones de programas de mensajería instantánea o para hacer funcionar un servidor. Una segunda opción pasa por usar un intermediario que no esté tras NAT, el cual inicia una sesión con cada extremo de los ordenadores tras NAT y luego une las sesiones para que se hablen directamente (explicación simplificada). Es parte de la magia que ha hecho a Skype tan popular, ya que (con suerte) no requiere configuración de los router NAT, pero a cambio no siempre funciona y requiere la presencia de un tercero para algo que es cosa de dos.
Conclusión: Sí se pueden asignar IP iguales sin problemas, siempre que los ordenadores que las tengan estén detrás de equipos que hagan NAT. Por tanto, ésta no es la razón de tus problemas de conexión (salvo que varios de tus ordenadores tengan la misma IP privada, lo cual me sorprendería enormemente).
Edición 1: Corrección ortográfica
